贝叶斯 - Tag - Naifan Li's Bloghttps://blog.omagiclee.com/tags/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF/贝叶斯 - Tag - Naifan Li's BlogHugo -- gohugo.ioen-usSun, 15 Mar 2026 22:09:24 +0800贝叶斯公式https://blog.omagiclee.com/posts/basics/bayes/Sun, 15 Mar 2026 22:09:24 +0800Naifan Lihttps://blog.omagiclee.com/posts/basics/bayes/从条件概率到贝叶斯公式

设 $A$ 和 $B$ 是两个事件，$P(B) > 0$，则条件概率定义为：

$$ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$

由此可以把联合概率 $P(A \cap B)$ 写成两种形式：

$$ P(A \cap B) = P(A \mid B)\, P(B) = P(B \mid A)\, P(A) $$

两边一除，就得到贝叶斯公式：

$$ P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)\, P(A)}{P(B)} $$

分母 $P(B)$ 通常用全概率公式展开。若 $\{A_1, A_2, \dots, A_n\}$ 是对样本空间的一个划分（两两互斥，并集为全集），则：

$$ P(B) = \sum_{i} P(B \mid A_i)\, P(A_i) $$

代入后得到完整形式：

$$ P(A_i \mid B) = \frac{P(B \mid A_i)\, P(A_i)}{\displaystyle\sum_{j} P(B \mid A_j)\, P(A_j)} $$

先验、似然与后验

把贝叶斯公式里的每一项都赋予含义，就得到了贝叶斯推断的语言：

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